Lieu et argument - Corrigé

Énoncé

Dans le plan complexe, caractériser et tracer l'ensemble \(\mathscr{E}_=\left\lbrace \text M(z) : \arg\left(\dfrac{3z+i}{(3+\sqrt{3}i)z-4}\right) \equiv \dfrac{\pi}{3} [2\pi] \right\rbrace\) .

Solution

Soit \(z \in \mathbb{C}\) tel que \(z \neq -\dfrac{i}{3}\) et \(z \neq \dfrac{4}{3+\sqrt{3}i}\) . On a :
\(\begin{align*}\text M(z) \in \mathscr{E}& \Longleftrightarrow\arg\left( \frac{3z+i}{(3+\sqrt{3}i)z-4} \right) \equiv \frac{\pi}{3} [2\pi]\\& \Longleftrightarrow\arg\left( \frac{ 3\left(z+\frac{1}{3}i \right)}{ (3+\sqrt{3}i)\left(z-\frac{4}{3+\sqrt{3}i}\right)} \right) \equiv \frac{\pi}{3} [2\pi]\end{align*}\)

et  \(\dfrac{4}{3+\sqrt{3}i} = \dfrac{4(3-\sqrt{3}i)}{12}= 1 - \dfrac{\sqrt{3}}{3} i\)

et  \(3+\sqrt{3}i = 2\sqrt{3} \left( \dfrac{3}{2\sqrt{3}} + \dfrac{\sqrt{3}}{2\sqrt{3}} \right)= 2 \sqrt{3} \left( \dfrac{\sqrt{3}}{2} + i \dfrac{1}{2} \right)= 2\sqrt{3} \text e^{i \frac{\pi}{6}}\)

donc \(\arg(3+\sqrt{3}i) \equiv \dfrac{\pi}{6} [2\pi]\) .

On note \(\text A\) et \(\text B\) les points du plan complexe d'affixes \(z_\text A= 1 - \dfrac{\sqrt{3}}{3}i\) et \(z_\text B=- \dfrac{1}{3}i\) .
\(\begin{align*}\text M(z) \in \mathscr{E}& \Longleftrightarrow\arg(3) - \arg(3+\sqrt{3}i) + \arg\left( \frac{ z+\frac{1}{3}i }{ z-(1 - \frac{\sqrt{3}}{3} i)} \right) \equiv \frac{\pi}{3} [2\pi]\\ & \Longleftrightarrow-\frac{\pi}{6} + \arg\left( \frac{ z-z_\text B }{ z-z_\text A } \right) \equiv \frac{\pi}{3} [2\pi]\\ & \Longleftrightarrow \arg\left( \frac{ z-z_\text B }{ z-z_\text A} \right) \equiv \frac{\pi}{3} +\frac{\pi}{6} [2\pi]\\ & \Longleftrightarrow\left(\overrightarrow{\text A\text M};\overrightarrow{\text B\text M}\right) \equiv \frac{\pi}{2} [2\pi]\\& \Longleftrightarrow\left(\overrightarrow{\text M\text A};\overrightarrow{\text M\text B}\right) \equiv \frac{\pi}{2} \ [2\pi]\end{align*}\)
donc \(\mathscr{E}\) est donc le cercle de diamètre \([\text A\text B]\) privé des points \(\text A\) et \(\text B\) .